学习泛函分析需要怎样的数学基础呀?
一般大学的高数和线代恐怕还不够，起码要升级到数学系的数分和高代，如果再学点基本的点集拓扑和实变函数就更好了。如果说数学分析实变函数是泛函的“形”，那么高等代数则是泛函的“魂”。泛函分析将数学中的两大结构“代数结构”和“拓扑结构”联系了起来，一方面将有限维的高等代数扩展到了无穷多维，另一方面又是利用代数学的技巧来处理分析学（数学分析，微分方程等）的问题，因此泛函可以看作一门之前所学课程的集大成者（数分、高代、常微分方程、实变函数等），从更高的观点来理解之前所学的学科。
如果以后打算继续深造的话基本上就是控制理论和模式识别两个方向。对于控制我只知晓皮毛，但据我浅薄的了解泛函分析已经成了现代控制理论非常重要的基石，掌握得多好都不过分。模式识别（也就是目前大火的人工智能、机器学习方向）其实用不到太多的泛函分析（做理论的当我没说。。Vapink 的上古神书 Statistical Learning Theory随便翻一翻就知道了），更多的还是大多数人所说的数学分析、矩阵论、概率统计、优化等。当然我认为“函数空间”这一观点还是非常重要的，将不可数无穷维的函数也看作空间中的一个点，例如数据挖掘比赛中大量使用的GBDT（Gradient Boosting Decision Tree）就用到了函数空间的思想，虽然它只用n个样本来近似这个函数。
美国本科Statistics ，eal variable function and functional analysis
对于本科往上的学习，那统计和数学不仅仅决定了你能不能胜任本科以上的学习内容，更决定了你能不能进入本科以上的项目学习。
但是!对于美国大学本科来说，学金融不一定要学好统计学和数学，基本的大学数学和统计懂就好。美国大学本科通常不设置金融专业，个别有本科商学院的可能会设置。即使本科有设置金融专业，也不会有细分，就是一个BBA in Finance。为什么说本科的金融不一定要统计和数学好呢?因为美国本科的金融(和经济学)课程重点在于培养学科的intuition和教授最基本的知识。本科课程里金融相关的课有这么几门：Financial econ，Finance，Behavioral Finance，Financial institution，Corporate Finance，Investment。
以上这所有的课需要的数学统计背景就是最最基本的微积分(主要是简单的求导和积分)和统计学(主要是descriptive stats和概率知识)。所以请各位放心，你数学方面的薄弱不会成为你本科学金融的阻碍。在美国本科商学院里，数学不好的孩子一抓一大把的，一样能在finance case competition里讲的头头是道。
美国本科的经济学也一样，除非是偏计量和理论的课程(你可以不选)，其他的课基本的微积分和统计都能够用。唯一的障碍可能就是那门必修的计量经济学，不过本科的计量并不难，数学不好努力努力拿个B+也是可以的。甚至好多经济系做Honor Thesis的本科生都没上过除了微积分以外的数学课。
美国本科From:https://www.021fl.net/abroad/Canada/guide/10013300.asp